結び目ロゴ

作成時期・98年2月

画像作成・GATEWAY2000 P5-133

使用言語・VC++




赤ランプ   赤ランプ   赤ランプ






 これはなんでしょう。

ひとえ結び

 そうです。結び目です。ここでは、ひとえ結びと呼ぶことにします  ひとえ結びは、ひもを

ひとえ結び作り方

こんなふうに結ぶとできます。
 私たちは日常、ひもの途中にできたダンゴのような箇所や、 2本のひもを結んだ箇所を結び目と言いますが、 数学での結び目とは、端と端がつながった閉じたひもを基本として扱います。
 結び目理論の本を開けば、たいてい

分類表
参考図書:サイエンス社『結び目理論入門』鈴木晋一著)

のような分類表が載っています。 ひとえ結びは端同士をつなぐと上図中の 3-1 と等価になります。
 私は数学者ではないので、これ以上の数学的な議論はできませんが、 分類表に何かしらの Art を感じたので、今回は結び目をコンピューター内で力学的に作って、 それを表示してみることを試みました。
 まず、3次元無重力空間に、ゆるいバネでつながれた粒子を 目的の結び目と同じ構造になるように並べます。 具体的にはこんな感じです。

初期条件
( 7-4 の結び目を作ろうとして、マウスで適当に配置した200個の粒子。
丸の大きさは高さを意味する )

 そして、近傍粒子以外の粒子とはある一定以上の距離を保つように 制約条件をつけ(ひもの「太さ」の定義)、その後、 ばねの強さを大きくして全体をギュッと締めると、 粒子はある配置に向かって収束します。
 収束したら、その配置をもとに粒子数を増やし、再び収束計算をして、 精度を高めます。こうして「力学的に自然な」結び目が出来上がります。

7-4の結び目

 立体構造を見るために、回転させた動画も載せておきます。

動画

 計算において、粒子間の距離に制約条件をつけているので、 ひもの太さをちょうど粒子間の距離の半分にして表示すると、 「きつきつ」な結び目ができます。

きつきつな7-4の結び目


同じ要領で、7-1 と 7-3 の結び目についても計算・表示してみました。

7-1の結び目
↑ 7-1 の結び目


きつきつな7-1の結び目
↑ きつきつの 7-1


7-3の結び目
↑ 7-3 の結び目


きつきつな7-3の結び目
↑ きつきつの 7-3


 きつきつの 7-1 の図において、まだ空間が埋まってないことは興味深いことです。 バネの強さは十分強く、直感的には中心に向かって縮んでしまいそうなのに、 そうならず、トーラス状の平衡点があることになります。 これはねじったトーラス構造でエネルギーが貯蔵できることを意味します。 (このことについての考察は厳密計算など追考が必要です。あくまでここでは 概念に留めます。) また、7-3 の図でも、分類表では左右の対称性があるのに、力学的には 対称性が消えて、完全に縮んでしまうのも面白いです。

ちなみに、わたしはこれらのきつきつの結び目を見ていて、 目がもつれそうになりました。
# ドーナッツの生地でこのような構造のお菓子を作ったら、 数学者のパーティーとかでウケるかもしれません。

以下はひと工夫した作品です。



金髪のオサゲ

↑3本のひもを絡めて6つの端を固定し、
ぎゅっと縛り上げて、金髪のオサゲを作りました。




祝

↑ちょっと強引かも。




いろいろ載せましたが、色と太さ以外は全て数値計算の結果です。
私は構造の種をマウスで与えただけです。






赤ランプ   赤ランプ   赤ランプ



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   メール:Morikawa_Hiroshi@yahoo.co.jp